funzione , in matematica , un'espressione, regola o legge che definisce una relazione tra una variabile (la variabile indipendente) e un'altra variabile (la variabile dipendente). Le funzioni sono onnipresente in matematica e sono essenziali per formulare relazioni fisiche nelle scienze. La moderna definizione di funzione fu data per la prima volta nel 1837 dal matematico tedesco Peter Dirichlet:
Se una variabile sì è così correlato a una variabile X che ogni volta che viene assegnato un valore numerico a X , esiste una regola secondo la quale un valore unico di sì è determinato, allora sì si dice che sia una funzione della variabile indipendente X .
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Questa relazione è comunemente simboleggiata come sì = f ( X ). Inoltre f ( X ), altri simboli abbreviati come g ( X ) e P ( X ) sono spesso usati per rappresentare funzioni della variabile indipendente X , soprattutto quando la natura della funzione è sconosciuta o non specificata.
Molte formule matematiche ampiamente utilizzate sono espressioni di funzioni note. Ad esempio, la formula per l'area di un cerchio , PER = r Due, fornisce la variabile dipendente PER (l'area) in funzione della variabile indipendente r (il raggio). Anche le funzioni che coinvolgono più di due variabili sono comuni in matematica, come si può vedere nella formula per l'area di un triangolo, PER = b h /2, che definisce PER in funzione di entrambi b (base) e h (altezza). In questi esempi, i vincoli fisici obbligano le variabili indipendenti ad essere numeri positivi. Quando anche le variabili indipendenti possono assumere valori negativi, quindi qualsiasi numero reale, le funzioni sono note come funzioni a valori reali.
La formula per l'area di un cerchio è un esempio di funzione polinomiale. La forma generale per tali funzioni è P ( X ) = per 0+ per 1 X + per Due X Due+ ⋯ + per n X n ,dove i coefficienti ( per 0, per 1, per Due, ..., per n ) sono dati, X può essere un qualsiasi numero reale e tutte le potenze di X stanno contando i numeri (1, 2, 3,…). (Quando i poteri di X può essere qualsiasi numero reale, il risultato è noto come funzione algebrica.) Le funzioni polinomiali sono state studiate fin dai tempi più antichi a causa della loro versatilità: praticamente qualsiasi relazione che coinvolga numeri reali può essere approssimata da vicino da una funzione polinomiale. Le funzioni polinomiali sono caratterizzate dalla massima potenza della variabile indipendente. I nomi speciali sono comunemente usati per tali poteri da uno a cinque: lineare, quadratico, cubico, quartico e quintico.
Le funzioni polinomiali possono essere rappresentate geometricamente mediante la geometria analitica. La variabile indipendente X è tracciato lungo il X -axis (una linea orizzontale) e la variabile dipendente sì è tracciato lungo il sì -axis (una linea verticale). Il grafico della funzione è quindi costituito dai punti con coordinate ( X , sì ) dove sì = f ( X ). Ad esempio, il grafico dell'equazione cubica f ( X ) = X 3- 3 X + 2 è mostrato infigura.
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equazione cubica Grafico dell'equazione cubica f ( X ) = X 3- 3 X + 2. I punti tracciati sono i punti in cui si verificano i cambiamenti di curvatura. Enciclopedia Britannica, Inc.
Un altro tipo comune di funzione che è stato studiato fin dall'antichità sono le funzioni trigonometriche, come sin X e cos X , dove X è la misura di un angolo ( vedere figura). A causa della loro natura periodica, le funzioni trigonometriche sono spesso utilizzate per modellare comportamenti che si ripetono, o cicli. Le funzioni non algebriche, come le funzioni esponenziali e trigonometriche, sono anche note come funzioni trascendentali.
grafici di alcune funzioni trigonometriche Si noti che ciascuna di queste funzioni è periodica. Pertanto, le funzioni seno e coseno si ripetono ogni 2π e le funzioni tangente e cotangente si ripetono ogni π. Enciclopedia Britannica, Inc.
Le applicazioni pratiche di funzioni le cui variabili sono numeri complessi non sono così facili da illustrare, ma sono comunque molto estese. Si verificano, ad esempio, nell'ingegneria elettrica e nell'aerodinamica. Se la variabile complessa è rappresentata nella forma con = X + io sì , dove io è l'unità immaginaria (la radice quadrata di −1) e X e sì sono variabili reali ( vedere figura), è possibile scomporre la funzione complessa in parti reali e immaginarie: f ( con ) = P ( X , sì ) + io Q ( X , sì ).
punto nel piano complesso Un punto nel piano complesso. A differenza dei numeri reali, che possono essere individuati da un singolo numero con segno (positivo o negativo) lungo una retta numerica, i numeri complessi richiedono un piano con due assi, un asse per la componente numerica reale e un asse per la componente immaginaria. Sebbene il piano complesso assomigli all'ordinario piano bidimensionale, dove ogni punto è determinato da una coppia ordinata di numeri reali ( X , sì ), il punto X + io sì è un numero unico. Enciclopedia Britannica, Inc.
Scambiando i ruoli delle variabili indipendenti e dipendenti in una data funzione, si può ottenere una funzione inversa. Le funzioni inverse fanno ciò che implica il loro nome: annullano l'azione di una funzione per riportare una variabile al suo stato originale. Quindi, se per una data funzione f ( X ) esiste una funzione g ( sì ) tale che g ( f ( X )) = X e f ( g ( sì )) = sì , poi g si chiama funzione inversa di f e data la notazione f −1, dove per convenzione le variabili vengono scambiate. Ad esempio, la funzione f ( X ) = 2 X ha la funzione inversa f −1( X ) = X /Due.
Una funzione può essere definita mediante una serie di potenze. Ad esempio, la serie infinita potrebbe essere usato per definire queste funzioni per tutti i valori complessi di X . Altri tipi di serie e anche infinito prodotti possono essere utilizzati quando conveniente. Un caso importante è la serie di Fourier, che esprime una funzione in termini di seno e coseno:
la tendenza a cercare informazioni che supportino le proprie convinzioni si chiama
Tali rappresentazioni sono di grande importanza in fisica, in particolare nello studio del moto ondoso e di altri fenomeni oscillatori.
A volte le funzioni sono definite più convenientemente mediante equazioni differenziali. Per esempio, sì = senza X è la soluzione dell'equazione differenziale d Due sì / d X Due+ sì = 0 avendo sì = 0, d sì / d X = 1 quando X = 0; sì = cos X è la soluzione della stessa equazione avente sì = 1, d sì / d X = 0 quando X = 0.
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