Sapere come gli ingegneri civili e ambientali comprendono la meccanica delle strutture sottili e come usano la geometria per studiare il processo di deformazione Esplorare come gli ingegneri civili e ambientali usano la geometria per studiare i processi di deformazione in progetti di varie scale. Massachusetts Institute of Technology (un partner editoriale Britannica) Guarda tutti i video per questo articolo
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Geometria , la branca della matematica che si occupa della forma dei singoli oggetti, delle relazioni spaziali tra i vari oggetti e delle proprietà dello spazio circostante. È uno dei rami più antichi della matematica, essendo sorto in risposta a problemi pratici come quelli riscontrati nel rilevamento, e il suo nome deriva dalle parole greche che significano misurazione della Terra. Alla fine ci si rese conto che la geometria non doveva limitarsi allo studio delle superfici piane (geometria piana) e degli oggetti tridimensionali rigidi (geometria solida) ma che anche i pensieri e le immagini più astratte potevano essere rappresentati e sviluppati in termini geometrici.
Questo articolo inizia con una breve guida ai principali rami della geometria e poi procede a un'ampia trattazione storica. Per informazioni su specifici rami della geometria, vedere Geometria euclidea, geometria analitica, geometria proiettiva, geometria differenziale, geometrie non euclidee e topologia.
In diversi antichi culture si sviluppò una forma di geometria adatta alle relazioni tra lunghezze, aree e volumi di oggetti fisici. Questa geometria è stata codificata in Euclide Elementi circa 300bcesulla base di 10 assiomi, o postulati, dai quali diverse centinaia di teoremi furono dimostrati dalla logica deduttiva. Il Elementi incarnato per molti secoli il metodo assiomatico-deduttivo.
Analitico la geometria fu iniziata dal matematico francese René Descartes (1596-1650), che introdusse le coordinate rettangolari per individuare i punti e consentire la rappresentazione di linee e curve con equazioni algebriche. La geometria algebrica è un'estensione moderna della materia a spazi multidimensionali e non euclidei.
La geometria proiettiva ha avuto origine con il matematico francese Girard Desargues (1591–1661) per occuparsi di quelle proprietà delle figure geometriche che non vengono alterate proiettando la loro immagine, o ombra, su un'altra superficie.
Il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss (1777-1855), in connessione con problemi pratici di rilevamento e geodesia, ha avviato il campo della geometria differenziale. Usando il calcolo differenziale , ha caratterizzato il intrinseco proprietà di curve e superfici. Ad esempio mostrò che la curvatura intrinseca di un cilindro è la stessa di un piano, come si vede tagliando un cilindro lungo il suo asse e appiattendo, ma non uguale a quella di un sfera , che non può essere appiattito senza distorsioni.
A partire dal XIX secolo, vari matematici si sostituirono alternative al postulato delle parallele di Euclide, che, nella sua forma moderna, recita, data una retta e un punto non sulla retta, è possibile tracciare esattamente una retta per il punto dato parallelo alla retta. Speravano di dimostrare che le alternative erano logicamente impossibili. Invece, hanno scoperto che esistono geometrie non euclidee coerenti.
La topologia, la branca più giovane e sofisticata della geometria, si concentra sulle proprietà degli oggetti geometrici che rimangono invariate in caso di deformazione continua: restringimento, allungamento e piegatura, ma non lacerazione. Il continuo sviluppo della topologia risale al 1911, quando il matematico olandese L.E.J. Brouwer (1881-1966) introdusse metodi generalmente applicabili all'argomento.
I primi esempi non ambigui conosciuti di documenti scritti, risalenti all'Egitto e alla Mesopotamia intorno al 3100bce—dimostrano che i popoli antichi avevano già iniziato a escogitare regole e tecniche matematiche utili per il rilevamento di aree territoriali, la costruzione di edifici e la misurazione dei contenitori di stoccaggio. A partire dal VI secolo circabce, i greci raccolsero ed estendono questa conoscenza pratica e da essa generalizzarono il soggetto astratto ora noto come geometria, dalla combinazione delle parole greche geo (Terra) e metro (misura) per la misurazione della Terra.
matematici del mondo greco-romano Questa mappa abbraccia un millennio di importanti matematici greco-romani, da Talete di Mileto (c. 600bce) a Ipazia di Alessandria (c. 400Questo). Enciclopedia Britannica, Inc.
Oltre a descrivere alcune delle conquiste degli antichi greci, in particolare lo sviluppo logico della geometria di Euclide nel Elementi , questo articolo esamina alcune applicazioni della geometria all'astronomia, alla cartografia e alla pittura dalla Grecia classica fino al medievale Islam ed Europa rinascimentale. Si conclude con una breve trattazione delle estensioni alle geometrie non euclidee e multidimensionali in età moderna.
L'origine della geometria risiede nelle preoccupazioni della vita quotidiana. Il racconto tradizionale, conservato in Erodoto Storia (V secolobce), attribuisce agli egiziani l'invenzione del rilevamento per ristabilire i valori delle proprietà dopo l'annuale piena del Nilo. Allo stesso modo, l'ansia di conoscere i volumi di figure solide derivava dalla necessità di valutare tributi, immagazzinare petrolio e grano, e costruire dighe e piramidi. Anche i tre astruso problemi geometrici dei tempi antichi: raddoppiare a cubo , trisecare un angolo e quadrare un cerchio , tutto ciò che verrà discusso in seguito, probabilmente derivato da questioni pratiche, da rituali religiosi, cronometraggio e costruzione , rispettivamente, nelle società pre-greche del Mediterraneo. E il soggetto principale della successiva geometria greca, la teoria delle sezioni coniche, doveva la sua importanza generale, e forse anche la sua origine, alla sua applicazione all'ottica e all'astronomia.
Mentre molti antichi individui, conosciuti e sconosciuti, hanno contribuito all'argomento, nessuno ha eguagliato l'impatto di Euclide e dei suoi Elementi di geometria, un libro che ha ormai 2.300 anni e oggetto di studio tanto doloroso e scrupoloso quanto la Bibbia. Di Euclide, tuttavia, si sa molto meno che di Mosè. In effetti, l'unica cosa nota con un discreto grado di sicurezza è che Euclide insegnò alla Biblioteca di Alessandria durante il regno di Tolomeo I (323-285/283bce). Euclide scrisse non solo di geometria ma anche di astronomia e ottica e forse anche di meccanica e musica. Solo il Elementi , che è stato ampiamente copiato e tradotto, è sopravvissuto intatto.
di Euclide Elementi era così completo e chiaramente scritto che ha letteralmente cancellato il lavoro dei suoi predecessori. Ciò che si sa della geometria greca prima di lui proviene principalmente da frammenti citati da Platone e Aristotele e da matematici e commentatori successivi. Tra l'altro prezioso gli elementi che hanno conservato sono alcuni risultati e l'approccio generale di Pitagora ( c. 580– c. 500bce) e i suoi seguaci. I pitagorici si convinsero che tutte le cose sono, o devono le loro relazioni a, numeri. La dottrina dava alla matematica un'importanza suprema nell'indagine e nella comprensione del mondo. Platone sviluppò una visione simile, e i filosofi influenzati da Pitagora o Platone scrissero spesso estaticamente sulla geometria come chiave per l'interpretazione del universo . Così la geometria antica ottenne un'associazione con il sublime per completare le sue origini terrene e la sua reputazione di esempio di ragionamento preciso.
Antichi costruttori e geometri dovevano essere in grado di costruire angoli retti nel campo su richiesta. Il metodo impiegato dagli egiziani è valso loro il nome di tiratori di funi in Grecia, apparentemente perché usavano una corda per tracciare le loro linee guida di costruzione. Un modo in cui avrebbero potuto utilizzare una corda per costruire triangoli rettangoli era contrassegnare una corda ad anello con dei nodi in modo che, una volta tenuta ai nodi e tesa, la corda dovesse formare un triangolo rettangolo. Il modo più semplice per eseguire il trucco è prendere una corda lunga 12 unità, fare un nodo di 3 unità da un'estremità e altre 5 unità dall'altra estremità, quindi annodare le estremità insieme per formare un cappio, come mostrato nella figura animazione. Tuttavia, gli scribi egizi non ci hanno lasciato istruzioni su queste procedure, tanto meno alcun accenno che sapevano generalizzarle per ottenere il teorema di Pitagora: il quadrato sulla retta opposta all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati sugli altri due lati. Allo stesso modo, le scritture vediche dell'antica India contengono sezioni chiamate sulvasutra s, o regole della corda, per l'esatto posizionamento degli altari sacrificali. Gli angoli retti richiesti sono stati realizzati da corde contrassegnate per dare le triadi (3, 4, 5) e (5, 12, 13).
Nelle tavolette di argilla babilonese ( c. 1700–1500bce) gli storici moderni hanno scoperto problemi le cui soluzioni indicano che il teorema di Pitagora e alcune triadi speciali erano conosciute più di mille anni prima di Euclide. Tuttavia, è molto improbabile che un triangolo rettangolo creato a caso abbia tutti i lati misurabili con la stessa unità, ovvero ogni lato un multiplo intero di una comune unità di misura. Questo fatto, che fu uno shock quando fu scoperto dai pitagorici, diede origine al concetto e alla teoria dell'incommensurabilità.
Per antica tradizione, Talete di Mileto, vissuto prima di Pitagora nel VI secolobce, ha inventato un modo per misurare altezze inaccessibili, come le piramidi egizie. Sebbene nessuno dei suoi scritti sia sopravvissuto, Talete potrebbe aver saputo di un'osservazione babilonese secondo cui per triangoli simili (triangoli che hanno la stessa forma ma non necessariamente le stesse dimensioni) la lunghezza di ciascun lato corrispondente è aumentata (o diminuita) dello stesso multiplo. La figura mostra una determinazione dell'altezza di una torre utilizzando triangoli simili. Gli antichi cinesi arrivavano a misure di altezze e distanze inaccessibili per un altro percorso, usando rettangoli complementari, come si vede nel prossimofigura, che può dimostrare di dare risultati equivalenti a quelli del metodo greco che coinvolge i triangoli.
Un confronto tra un teorema geometrico cinese e uno greco La figura illustra l'equivalenza del teorema cinese dei rettangoli complementari e del teorema greco dei triangoli simili. Enciclopedia Britannica, Inc.
Una tavoletta cuneiforme babilonese scritta circa 3.500 anni fa tratta problemi di dighe, pozzi, orologi ad acqua e scavi. Ha anche un esercizio sui recinti circolari con un valore implicito di π = 3. L'appaltatore per la piscina del re Salomone, che ha realizzato uno stagno di 10 cubiti di diametro e 30 cubiti di circonferenza (1 Re 7:23), ha usato lo stesso valore. Tuttavia, gli Ebrei avrebbero dovuto prendere il loro π dagli Egiziani prima di attraversare il mar Rosso , per il papiro Rhind ( c. 2000bce; la nostra fonte principale per l'antica matematica egiziana) implica π = 3.1605.
La conoscenza dell'area di un cerchio era di valore pratico per gli ufficiali che tenevano traccia del tributo del faraone, nonché per i costruttori di altari e piscine. Ahmes, lo scriba che ha copiato e annotato il papiro Rhind ( c. 1650bce), ha molto da dire su granai e piramidi cilindrici, interi e troncati. Poteva calcolare i loro volumi e, come appare dal suo prendere l'egiziano cercata , la distanza orizzontale associata a un'altezza verticale di un cubito, come quantità che definisce l'inclinazione della piramide, sapeva qualcosa su triangoli simili.
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